فعالیت ۱ مختصات نقطه وسط حسابان یازدهم
در شکل زیر نقطه $M$ وسط پارهخط $AB$ است. طول نقطه $M$ چقدر است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۱ صفحه ۳۲ حسابان یازدهم
سلام به شما! این فعالیت به صورت شهودی و عددی، مفهوم **نقطه وسط پارهخط** روی محور اعداد را نشان میدهد. نقطه $M$ دقیقاً در مرکز فاصله بین $A$ و $B$ قرار دارد.
### گام اول: محاسبه طول پارهخط $AB$
* **مختصات نقاط**: $A = -۲$ و $B = ۶$.
* **طول $AB$**: اختلاف مختصات (یا فاصله) آنهاست:
$$\text{طول } AB = |۶ - (-۲)| = |۶ + ۲| = ۸$$
### گام دوم: محاسبه فاصله $AM$ یا $MB$
چون $M$ نقطه وسط است، طولهای $AM$ و $MB$ نصف طول کل پارهخط $AB$ است:
$$\text{طول } AM = \frac{۱}{۲} \times \text{طول } AB = \frac{۱}{۲} \times ۸ = ۴$$
### گام سوم: محاسبه طول نقطه $M$
طول نقطه $M$ را میتوان با افزودن طول $AM$ به مختصات نقطه $A$ (یا کم کردن طول $MB$ از مختصات نقطه $B$) به دست آورد:
* **از سمت $A$**: $\text{طول } M = A + \text{طول } AM = -۲ + ۴ = \mathbf{۲}$
* **از سمت $B$**: $\text{طول } M = B - \text{طول } MB = ۶ - ۴ = \mathbf{۲}$
**نتیجه**: طول (مختصات) نقطه $M$ برابر $\mathbf{۲}$ است.
فعالیت ۲ رابطه نقطه وسط با مختصات نقاط ابتدا و انتها حسابان یازدهم
چه ارتباطی بین طول نقطه $M$ و طول نقاط $A$ و $B$ مشاهده میکنید؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۲ صفحه ۳۲ حسابان یازدهم
در فعالیت قبلی، مختصات نقاط $A=-۲$، $B=۶$ و $M=۲$ بود. بیایید بررسی کنیم که چه عملیاتی روی $-۲$ و $۶$ انجام دهیم تا به $۲$ برسیم.
### مشاهده رابطه
به طور کلی، نقطه وسط دو عدد، **میانگین** آن دو عدد است. یعنی مجموع دو عدد تقسیم بر دو:
$$\text{طول } M = \frac{\text{طول } A + \text{طول } B}{۲}$$
**بررسی عددی:**
$$\text{طول } M = \frac{-۲ + ۶}{۲} = \frac{۴}{۲} = \mathbf{۲}$$
### نتیجهگیری
**ارتباط مشاهده شده**: طول نقطه $M$ (نقطه وسط) برابر با **میانگین حسابی** طول نقاط انتهایی $A$ و $B$ است.
$$x_M = \frac{x_A + x_B}{۲}$$
فعالیت ۳ استخراج فرمول نقطه وسط روی محور $x$ها حسابان یازدهم
اگر $A$ و $B$ دو نقطه دلخواه روی محور $x$ها و $M$ وسط $AB$ باشد، طول نقطه $M$ را بر حسب طولهای $A$ و $B$ به دست آورید.
$$AM = MB$$
$$x_M - x_A = \dots$$
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۳ صفحه ۳۲ حسابان یازدهم
این فعالیت برای **استخراج فرمول کلی** مختصات نقطه وسط روی محور اعداد استفاده میشود. ما از تعریف هندسی **فاصله** استفاده میکنیم.
### گام اول: نوشتن برابری فاصله با استفاده از قدر مطلق
چون $M$ وسط $AB$ است، فاصله $AM$ برابر با فاصله $MB$ است:
$$\text{فاصله } AM = \text{فاصله } MB$$
$$|x_M - x_A| = |x_B - x_M|$$
### گام دوم: فرض موقعیت نقاط (برای حذف قدر مطلق)
با توجه به شکل , فرض میکنیم $A$ در سمت چپ $B$ قرار دارد. پس $\mathbf{x_A \le x_M \le x_B}$ است. در این صورت:
* **$x_M - x_A$ مثبت است**: $|x_M - x_A| = x_M - x_A$
* **$x_B - x_M$ مثبت است**: $|x_B - x_M| = x_B - x_M$
پس داریم:
$$\mathbf{x_M - x_A = x_B - x_M}$$
### گام سوم: حل برای $x_M$
$x_M$ها را به یک طرف و $x_A$ و $x_B$ را به طرف دیگر میبریم:
$$x_M + x_M = x_A + x_B$$
$$۲x_M = x_A + x_B$$
$$\mathbf{x_M = \frac{x_A + x_B}{۲}}$$
**نتیجه**: طول (مختصات) نقطه وسط $M$ روی محور $x$ها، برابر با **میانگین مختصات** نقاط $A$ و $B$ است.
فعالیت ۴ استخراج فرمول نقطه وسط روی محور $y$ها حسابان یازدهم
اگر $A$ و $B$ روی محور $y$ها و عرض نقاط $A$ و $B$ را $y_A$ و $y_B$ نشان دهیم و $M$ وسط پارهخط $AB$ باشد، چه دستوری برای محاسبه عرض نقطه $M$ میتوان بیان کرد؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت ۴ صفحه ۳۲ حسابان یازدهم
مفهوم **نقطه وسط** روی هر محور مختصاتی (محور $x$ یا محور $y$) کاملاً یکسان است. اگر نقاط $A$ و $B$ روی محور $y$ها قرار داشته باشند، فقط مؤلفه **عرض** آنها درگیر است.
### ۱. تعمیم مفهوم نقطه وسط
* ما در فعالیت قبل ثابت کردیم که برای هر پارهخط روی یک محور، مختصات نقطه وسط برابر با **میانگین** مختصات نقاط انتهایی است.
* اگر $A$ و $B$ روی محور $y$ باشند، مختصات آنها به ترتیب $A(۰, y_A)$ و $B(۰, y_B)$ است.
* نقطه وسط $M$ نیز روی محور $y$ خواهد بود، $M(۰, y_M)$.
### ۲. محاسبه عرض نقطه $M$
با اعمال همان منطق میانگین به مؤلفههای $y$:
> **دستور محاسبه عرض نقطه وسط ($y_M$)، برابر است با میانگین عرضهای نقاط انتهایی.**
$$\mathbf{y_M = \frac{y_A + y_B}{۲}}$$
**نتیجه**: این نتیجهگیری، به ما کمک میکند تا در فعالیت بعدی، مختصات کامل نقطه وسط در صفحه مختصات دو بعدی را به سادگی استخراج کنیم.
